Question

如图，圆O是锐角△ABC的外接圆，其半径为R．BC=a，AC=b，AB=c．求证：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R．

Answer 1

考点：正弦定理与余弦定理

专题：

分析：分别连接AO、BO、CO并交圆O于点D、E、F，连接BD、AF、EC，根据圆周角定理可得：∠A=∠BEC，∠B=∠AFC，∠C=∠ADB，然后分别在△BEC、△AFC、△ABD中，求出sinA、sinB、sinC的值，继而可求证．

解答：解：连接AO、BO、CO并交圆O于点D、E、F，连接BD、AF、EC，
由圆周角定理可得：∠A=∠BEC，∠B=∠AFC，∠C=∠ADB，
则在△BEC中，
sin∠BEC=

BC

BE

=

a

2R

，
∵∠A=∠BEC，
∴sinA=

a

2R

，即

a

sinA

=2R，
同理可证：sinB=sin∠AFC=

b

2R

，sinC=sin∠ADB=

c

2R

，
即

b

sinB

=2R，

c

sinC

=2R，
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R．

点评：本题考查了正弦定理和余弦定理，解答本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的知识进行解答，难度适中．