Question

19．如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm，BC=20cm．若将斜边上的高CD 分成n等分，然后裁出（n-1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n-1）张纸条的面积和是$\frac{150（n-1）}{n}$cm²．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出AB=25，再利用面积法计算出CD=12，接着证明△CEF∽△CAB，则可计算出EF=$\frac{1}{n}$•25，同理可得从上往下数，第2个矩形的长为$\frac{2}{n}$•25，…，从上往下数，第（n-1）个矩形的长为$\frac{n-1}{n}$•25，且所有矩形的宽的和为$\frac{1}{n}$•12，然后把所有矩形的面积相加即可．

解答 解：如图，∵∠ACB=90°，AC=15，BC=20，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=25，
∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=12，
∵斜边上的高CD分成n等分，
∴CH=$\frac{12}{n}$，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CH}{CD}$，即$\frac{EF}{25}$=$\frac{1}{n}$，解得EF=$\frac{1}{n}$•25，
即从上往下数，第1个矩形的长为$\frac{1}{n}$•25，
同理可得从上往下数，第2个矩形的长为$\frac{2}{n}$•25，
…
从上往下数，第（n-1）个矩形的长为$\frac{n-1}{n}$•25，
而所有矩形的宽都为$\frac{1}{n}$•12，
∴这（n-1）张纸条的面积和是=[$\frac{1}{n}$•25+$\frac{2}{n}$•25+…+$\frac{n-1}{n}$•25]•$\frac{1}{n}$•12
=$\frac{25}{n}$（1+2+…+n-1）•$\frac{1}{n}$•12
=$\frac{150（n-1）}{n}$（cm²）．
故答案为$\frac{150（n-1）}{n}$．

点评 本题考查了相似三角形的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似三角形的性质求解．