Question

【题目】某数学小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，

以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

(1).如图1，当点D在线段BC上时，

①.BC与CF的位置关系为：________________________________．

②.BC，CD，CF之间的数量关系为：_______________________________.

(2).如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，

请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3).如图3，将图2中的 AB＝AC改变成AB＝kAC，正方形ADEF改成矩形ADEF，且AD=kAF,其它条件不变 ，猜想线段BD与CF之间的关系，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF ；②BC，CD，CF之间的数量关系为：BC=CF+CD，证明见解析；(2)结论①成立，②不成立，BC，CD，CF之间的数量关系为BC=CD-CF或CD=BC+CF，证明见解析；(3).数量关系BD=kCF，位置关系BC⊥CF，证明见解析.

【解析】

（1）利用正方形边相等，等腰三角形，证明ABD 和 AFC全等，再证明∠FCB=90°；

（2）解题方法参考（1）；

（3）参考（1）题原理，证明ABD 和 AFC相似，可以证明BD=kCF，

解：（1）AB＝AC，AD=AF,

∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC,

∠BAD=∠CAF,

ABD AFC，

∠ABD=∠ACF.

.

BC⊥CF

C=BC+CF.

（2）AB＝AC，AD=AF,

∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC,

∠BAD=∠CAF,

ABD AFC，

∠ADB=∠AFC.

. BC⊥CF

结论①成立，②不成立，

CD=BC+CF.

（3）AB＝kAC，AD=kAF,

∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC,

∠BAD=∠CAF,

ABD AFC，

BD=kCF.

∠ADB=∠AFC.

.

BC⊥CF.