Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE.

（1）求证：AE⊥BD；

（2）若AD=2,CD=3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由题意可得△ABC是等腰直角三角形，由旋转得，再由对顶角相等，三角形内角和可得，即 ；

（2）如图，连接，依次证出△DCE是等腰直角三角形、△ADE是直角三角形，运用勾股定理得DE、AE的长，又因为BD=AE，从而求解.

（1）证：由题意可得 ，，∴．

设 与 、 分别交于点 ，∵，，

∴，即 ．

（2）解：连接，

∵，

∴．

∵，∴，．

∴，

∴，∴．