Question

【题目】如图，在边长为6的正方形ABCD中，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，EF交线段CD于点P，FE的延长线交线段BC于点H，连接AH、AP．

（1）求证：△ADP≌△AEP；

（2）①求∠HAP的度数；②判断线段HP、BH、DP的数量关系，并说明理由；

（3）连接DE、EC、CF、DF得到四边形CFDE，在旋转过程中，四边形CFDE能否为矩形？若能，求出BH的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明详见解析；(2)①45°；②HP=HE+EP=HB+DP；(3)能，2.

【解析】

试题分析：（1）根据旋转变换的性质得到AB=AE，∠AEP=∠ABH=90°，根据正方形的性质得到AD=AB，∠D=90°，根据直角三角形的全等的判定定理证明即可；

（2）证明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代换即可；

（3）根据矩形的判定定理证明四边形AEBD是矩形，设点H的坐标为（x，0），根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到点H的坐标．

试题解析：(1)∵将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α，

∴AB=AE，∠AEP=∠ABH=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠D=90°，

∴AE=AD，∠D=∠AEP=90°

在Rt△ADP与Rt△AEP中，

AD=AE，AP=AP，

∴Rt△ADP≌Rt△AEP；

（2）∵∠AEP=90°，

∴∠AEH=90°，

在Rt△ABH与Rt△AEH中，

AB=AE，AH=AH，

∴Rt△ABH≌Rt△AEH，

∴∠BAH=∠EAH，BO=HE，

∵Rt△AEP≌Rt△ADP，

∴∠EAP=∠DAP，EP=DP，

∴∠HAP=∠HAE+∠EAP=∠BAD=45°，

HP=HE+EP=HB+DP；

（3）当P是CD中点时，四边形CFDE是矩形，

∵P是CD中点，

∴DP=CP=CD，

由（2）得EP=DP，

又∵CD=EF，

∴DG=DE，

∴DP=PC=PE=PF，

∴四边形CFDE是矩形，

设BH=x，

则HE=BH=x，PE=PD=PC=3，CH=6﹣x，

由勾股定理得，，

解得，x=2，即BH=2．