Question

如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）求BC，AD的长度；
（2）求点O到弦BD的距离．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）首先根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ADB=90°，∠ACD=∠BCD再利用勾股定理计算出BC，AD的长即可；
（2）过O作EO⊥DB，根据三角函数可得EO=BO×sin45°，代入响应数值可得答案．

解答：解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC=

102-62

=8（cm），
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∵∠ADB=90°，
∴AD²+BD²=AD²，
∴AD²+AD²=10²，
AD=5

2

cm；

（2）过O作EO⊥DB，
∵AD=BD，
∴∠ABD=45°，
∴EO=BO×sin45°=

1

2

AB•sin45°=

5 2

2

，
∴点O到弦BD的距离为

5 2

2

．

点评：此题主要考查了圆周角定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．