Question

如图所示，二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；                                     
（3）该二次函数图象上是否存在一点P（x，y）（其中x＞0，y＞0），使△ACP的面积最大？若存在，求出P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（3，0）代入y=-x²+2x+m，求解即可，
（2）令0=-x²+2x+3，解得x的值，即可求出点B的坐标，
（3）当直线平行于直线CA，且与抛物线只有一个交点时，△ACP的面积最大，列出点P经过的直线y=-x+b，结合抛物线利用△求出b，再联立即可得出点P的坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），
∴把A（3，0）代入y=-x²+2x+m，解得m=3，
（2）∵二次函数解析式为y=-x²+2x+3，
∴令0=-x²+2x+3，解得x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标为（-1，0），
（3）存在
理由如下：
当直线平行于直线CA，且与抛物线只有一个交点时，△ACP的面积最大，
∵直线CA的解析式为：y=-x+3，
∴设点P经过的直线为y=-x+b，
∴-x+b=-x²+2x+3，化简得x²-3x+b-3=0，△=9-4（b-3）=0，解得b=

21

4

，
联立得

y=-x+ 21 4 y=-x2+2x+3

，解得

x= 3 2 y= 15 4

，
∴P点的坐标为（

3

2

，

15

4

）．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是利用△求出b的值．