Question

如图，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，则点C的坐标为

 

，若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A，C，B．已知点P是该抛物线上的动点，当∠APB是锐角时，点P的横坐标x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：计算题

分析：连结BC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再证明Rt△AOC∽Rt△COB，利用相似比计算出OC=4，则可得到C点坐标为（0，-4）；设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-8），把C点坐标代入求出a=

1

4

，于是得到抛物线解析式为y=

1

4

x²-

3

2

x-8，根据抛物线与圆的对称性得到点C关于对称轴的对称点E为抛物线与圆的交点，接着求出E点坐标为（6，-4），由于∠APB是锐角，则动点P在抛物线上且点P在⊙O′外，于是根据图形易得点P的横坐标x的取值范围为x＜-2或0＜x＜6或x＞8．

解答：解：连结BC，如图，
∵AB为⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
而∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∴Rt△AOC∽Rt△COB，
∴OA：OC=OC：OB，即2：OC=OC：8，解得OC=4，
∴C点坐标为（0，-4）；
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-8），
把C（0，-4）代入得a•2•（-8）=-4，解得a=

1

4

，
∴抛物线解析式为y=

1

4

（x+2）（x-8）=

1

4

x²-

3

2

x-8，
∵抛物线的对称轴过圆心O′，
∴点C关于对称轴的对称点E为抛物线与圆的交点，
当y=-4时，

1

4

x²-

3

2

x-8=-4，解得x₁=0，x₂=6，
∴E点坐标为（6，-4），
∵∠APB是锐角，
∴点P在⊙O′外，
∴点P的横坐标x的取值范围为x＜-2或0＜x＜6或x＞8．
故答案为（0，-4），x＜-2或0＜x＜6或x＞8．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质．