Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（2，-5），顶点为（-1，4），直线l的解析式为y=2x+m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与直线l有两个公共点，求m的取值范围；
（3）若直线l与抛物线只有一个公共点P，求点P的坐标；
（4）设抛物线与x轴的交点分别为A、B，求在（3）的条件下△PAB的面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线顶点坐标可得二次函数y=a（x+1）²+4，将点（2，-5）代入，即可得到抛物线的解析式，
（2）由抛物线的解析式及直线l的解析式联立，利用△即可求出抛物线与直线l有两个公共点m的取值范围，
（3）由抛物线的解析式及直线l的解析式联立，利用△=0时求出m的值，再联立即可求出点P的坐标，
（4）抛物线的解析式求出AB的长，利用S_PAB=

1

2

AB•P_纵坐标，即可求出△PAB的面积．

解答：解：（1）∵抛物线顶点坐标为（-1，4），
∴它的解析式为y=a（x+1）²+4，将点（2，-5）代入，得a=-1．
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3．
（2）由

y=2x+m y=-x2-2x+3

得x²-4x+m-3=0，
∴△=16-4（m-3）=-4m+28．
当-4m+28＞0时，解得m＜7．
即当m＜7时，抛物线与直线l有两个公共点．
（3）由（2）知：当抛物线与直线l只有一个公共点时，m=7，
由

y=2x+7 y=-x2-2x+3

解得

x=-2 y=3

，
即点P的坐标为（-2，3）．
（4）∵抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3．抛物线与x轴的交点分别为A、B，
∴令0=-x²-2x+3，得x₁=-3，x₂=1，
∴AB=4，
∴S_PAB=

1

2

AB•P_纵坐标=

1

2

×4×3=6．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．