Question

如图1，四边形ABCD、EFGH为两个全等的矩形，且矩形ABCD的对角线交于点E，点A在EG上，∠ACB=30°．将矩形EFGH绕点E顺时针旋转α角（0°＜α＜60°），如图2，GE、FE与AD分别相交于N、M．
（1）求证：AN+DM＞MN；
（2）若MN²+DM²=AN²，求旋转角α的大小．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：（1）根据矩形的对角线互相平分且相等可得AE=DE，再求出∠AED=120°，将△AEN绕点E顺时针旋转120°得到△DPE，连接MP，根据旋转的性质可得EP=NE，DP=AN，∠DEP=∠EN，再求出∠MEN=∠MEP=60°，然后利用“边角边”证明△MEN和△MEP全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边证明即可；
（2）利用勾股定理逆定理判断出△DPM是直角三角形，根据全等三角形对应角相等可得∠EMN=∠EMP=45°，利用三角形的内角和定理求出∠MNE=75°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEN=45°，即为旋转角度数．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE=DE，
∵∠ACB=30°，
∴∠AED=180°-30°×2=120°，
将△AEN绕点E顺时针旋转120°得到△DPE，连接MP，
则EP=NE，DP=AN，∠DEP=∠EN，
∵∠AED=120°，
∴∠MEN=∠MEP=60°，
在△MEN和△MEP中，

EP=NE ∠MEN=∠MEP EM=EM

，
∴△MEN≌△MEP（SAS），
∴MN=MP，
由三角形的三边关系得，DP+DM＞MP，
∴AN+DM＞MN；

（2）解：∵MN²+DM²=AN²，
∴△DPM是直角三角形，∠DMP=90°，
∵△MEN≌△MEP，
∴∠EMN=∠EMP=45°，
在△MNE中，∠MNE=180°-45°-60°=75°，
在△ANE中，∠AEN=∠MNE-∠CAD=75°-30°=45°，
∴旋转角为45°．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理逆定理的应用，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．