Question

【题目】（问题发现）如图1，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是 ；

（问题探究）如图2所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°．新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，即分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得△PEF周长的最小值为 km；

（拓展应用）如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．

①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？(小路宽度不计)

②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．

请问：在上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】[问题发现] 25；[问题探究] ；[拓展应用] ①出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米，②出口E距直线OB的距离为米.

【解析】

[问题发现]△PAB的底边AB一定,面积最大也就是P点到AB的距离最大,故当OP⊥AB时,时最大，值是5，再计算此时△PAB面积即可；

[问题探究]先由对称将折线长转化线段长，即分别以、所在直线为对称轴，作出关于的对称点为，关于的对称点为，连接，易求得：，而，即当最小时，可取得最小值．

[拓展应用]①四边形CODE面积=S△CDO＋S△CDE′，求出S△CDE′面积最大时即可；

②先利用相似三角形将费用问题转化为CE＋2DE＝CE＋QE，求CE＋QE的最小值问题．然后利用相似三角形性质和勾股定理求解即可。

[问题发现]解：当OP⊥AB时,时最大，，此时△APB的面积=，

故答案为：25；

[问题探究]解：如图2-1，连接，,分别以、所在直线为对称轴，作出关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、，

，

，，

，

、、在以为圆心，为半径的圆上，

设，

易求得：，

，，

，

当最小时，可取得最小值，

，

，即点在上时，可取得最小值，如图2-2，

如图2-3，设的中点为，

，

，

，

，

，

由勾股定理可知：，

，，

是等边三角形，

，

由勾股定理可知：，

，

，

的最小值为．

故答案为：

[拓展应用]①如图，作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交于点E′，则此时△CDE的面积最大．

∵OA＝OB＝12，AC＝4，点D为OB的中点，∴OC＝8，OD＝6，

在Rt△COD中，CD＝10，OG＝4.8，∴GE′＝12－4.8＝7.2，

∴四边形CODE面积的最大值为S△CDO＋S△CDE′＝×6×8＋×10×7.2＝60，

作E′H⊥OB，垂足为H，则E′H＝OE′＝×12＝7.2．

答：出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米．

②铺设小路CE和DE的总造价为200CE＋400DE＝200（CE＋2DE）．

如图，连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ．

在△EOD与△QOE中，∠EOD＝∠QOE，且，

∴△EOD∽△QOE，故QE＝2DE．

于是CE＋2DE＝CE＋QE，问题转化为求CE＋QE的最小值．

连接CQ，交于点E′，此时CE＋QE取得最小值为CQ，

在Rt△COQ中，CO＝8，OQ＝24，∴CQ＝8，故总造价的最小值为1600．

作E′H⊥OB，垂足为H，连接OE′，设E′H＝x，则QH＝3x，

在Rt△E′OH中，，

解得（舍去），

∴出口E距直线OB的距离为米．