Question

18．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作，则第7个正六边形的边长是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁶a．

Answer 1

分析 连接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=$\frac{1}{3}$a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是$\frac{1}{3}$a，是等边三角形QKM的边长的$\frac{1}{3}$；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的$\frac{1}{3}$；求出第五个等边三角形的边长，乘以$\frac{1}{3}$即可得出第六个正六边形的边长，同理可得出第七个正六边形的边长．

解答 解：如图1，连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AF=AB\\ AD=AD\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是$\frac{1}{3}$a，即等边三角形QKM的边长的$\frac{1}{3}$，
如图2，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN=$\frac{1}{3}$a，
∵GF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$a=$\frac{1}{6}$a，∠FGI=60°（已证），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=$\frac{1}{2}$GF=$\frac{1}{12}$a，
同理IN=$\frac{1}{12}$a，
∴GI=$\frac{1}{12}$a+$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{12}$a=$\frac{1}{2}$a，即第二个等边三角形的边长是$\frac{1}{2}$a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a；
同理第第三个等边三角形的边长是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a；
同理第四个等边三角形的边长是（$\frac{1}{2}$）³a，第四个正六边形的边长是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）³a；
第五个等边三角形的边长是（$\frac{1}{2}$）⁴a，第五个正六边形的边长是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）³a；
…
第n个正六边形的边长是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1a，
∴第七个正六边形的边长是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁶a．
故答案为：$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁶a．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目．