Question

12．设角A为锐角，求证：1＜sinA+cosA≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据辅助角公式和正弦函数的图象即可证得结论．

解答 证明：sinA+cosA=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA）=$\sqrt{2}$[cos$\frac{π}{4}$sinA+sin$\frac{π}{4}$cosA]=$\sqrt{2}$[sin（A+$\frac{π}{4}$）]，
∵0$＜A＜\frac{1}{2}π$，
∴$\frac{π}{4}＜A+\frac{π}{4}＜\frac{3}{4}π$，
根据正弦函数的图象可知：$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（A+\frac{π}{4}）≤$1，
∴1＜$\sqrt{2}$[sin（A+$\frac{1}{4}π$）]$≤\sqrt{2}$，
即：1＜sinA+cosA≤$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了同角三角函数的关系，辅助角公式和正弦函数的图象的性质，利用辅助角公式将sinA+cosA转化为$\sqrt{2}$[sin（A+$\frac{π}{4}$）]是解题的关键．