Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD和BE的交点，G、F分别是BH和AC的中点，试探究DG与DF之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：根据斜边中线等于斜边一半性质即可证明DG=BG，DF=AF，可得∠GDB=∠FDA，即可证明GD⊥DF，进而可以求证△BDG≌△ADF，即可求得DG=DF，即可解题．

解答：解：∵G、F分别是BH和AC的中点，
∴DG=BG，DF=AF，
∴∠GBD=∠GDB，∠FAD=∠FDA，
∵∠C=∠C，AD⊥CD，CE⊥BE，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠GDB=∠FDA，
∵∠GDB+∠GDH=90°，
∴∠ADF+∠GDH=90°，
∴GD⊥DF，
在△BGD和△AFD中，

∠GBD=∠FAD BD=AD ∠FDA=∠GDB

，
∴△BGD≌△AFD，（ASA）
∴DG=DF．
∴DG与DF之间的关系为DG=DF，DG⊥DF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BGD≌△AFD是解题的关键．