[题目]如图:四边形ABCD中.AD∥BC.∠ADC=90°.AD=4.CD=2.BC=5.点E在BC边上自B向C运动(不与点C重合).连接AE,过点E作AE的垂线交直线CD于F点．设BE的长为.CF的长为．(1) 求的值(2) 求的长.(用含的代数式表示)(3) 连接AF,在点E运动的过程中.△的外心点的位置也随之变化,探索:满足什么条件.外心落在四边形ABCD的边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图：四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，CD=2，BC=5，点E在BC边上自B向C运动(不与点C重合)，连接AE,过点E作AE的垂线交直线CD于F点．设BE的长为，CF的长为．

(1) 求的值

(2) 求的长，(用含的代数式表示)

(3) 连接AF,在点E运动的过程中，△的外心点的位置也随之变化,探索：满足什么条件，外心落在四边形ABCD的边上或形外.

【答案】(1)；(2) ，；(3)或

【解析】

（1）如图，作AE1⊥BC，根据AD=4，CD=2,得到AE1=CD=2,BE1=BC-E1C=1，故可求出的值；

（2）E点取两个特殊的位置E1,E2,AE1⊥BC，AE2⊥DE2，以AD为直径的圆与BC相切于E2,再根据图形分0≤x≤1，与1＜x＜5两种情况，根据△CEF∽△E1AE，对于线段成比例得到x与y的关系式；

（3）如图，根据△AEF为直角三角形，△AEF的外心M为AF中点，再分E在BE1上与E在E1C上两种情况进行讨论.

（1）如图，作AE1⊥BC，

∵AD=4，CD=2,

∴AE1=CD=2,BE1=BC-E1C=1，

∴==2;

（2）E点取两个特殊的位置E1,E2,AE1⊥BC，AE2⊥DE2，以AD为直径的圆与BC相切于E2,

当0≤x≤BE1时，即0≤x≤1时，EE1=1-x,EC=5-x，AE1=2，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEE1+∠FEC=90°，

又∠AEE1+∠E1AE=90°，

∴∠FEC=∠E1AE

又∠AE1E=∠ECF=90°，

∴△CEF∽△E1AE，

∴

即

化简得

当E在CE1上时，即即1＜x＜5时，EE1=x-1,EC=5-x，AE1=2，

同理可得△CEF∽△E1AE，

∴

即

化简得

（3）如图，根据△AEF为直角三角形，△AEF的外心M为AF中点，

①E在BE1上，如图，若点M在BC上，此时M与E2重合，AM=MF，

∵AE1∥DF，∴CF=AE1=2

∴EE2=AE2=AE1÷cos45°=2

则此时x=BE=BE2- EE2=3-2

∴当时，CF≥AE1，外心落在四边形ABCD的边上或形外；

②E在E1C上，当x=3时，如图，M在AD中点处，外心落在四边形ABCD的AD边上，其余M点都在四边形ABCD内部，

综上，或外心落在四边形ABCD的边上或形外.

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