Question

6．如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE于N．
（1）求证：BE=DC；
（2）求证：△AMN是等边三角形；
（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）、（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAC=∠BAE，根据“SAS”可判断△ABE≌△ADC，则BE=DC；
（2）由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ADC，根据“AAS”可判断△ABM≌△ADN（ASA），则AM=AN；∠DAE=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△AMN是等边三角形．
（3）判定结论1是否正确，也是通过证明△ABE≌△ADC求得．这两个三角形中AB=AD，AE=AC，∠BAE和∠CAD都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等，BE=CD，结论1正确．
将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，则∠DAC＞90°，因此三角形AMN绝对不可能是等边三角形．

解答 证明：（1）∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；

（2）由（1）证得：△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC．
在△ABM和△ADN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABM=∠ADN}\\{∠BAM=∠DAN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM=AN．
∵∠DAE=60°，
∴△AMN是等边三角形；

（3）∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC，∠ABE=∠ADC，
∵∠BAC=90°
∴∠MAN＞90°，
∵∠MAN≠60°，
∴△AMN不是等边三角形，
∴（1）的结论成立，（2）的结论不成立．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质．