Question

【题目】已知：如图，△ABC是边长为3cm等边三角形，动点P、Q分别同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t(s)，

⑴当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

⑵△PBQ能否成为等边三角形？若能，请求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=0.6或1.5时，△PBQ是直角三角形；（2）当t=1时，△BPQ是等边三角形，理由见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得∠B=60°，分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据30°所对的直角边是斜边的一半建立方程求解;

（2）根据等边三角形的性质可得方程3-t=2t，解方程求解即可．

（1）根据题意得AP=tcm，BQ=2tcm，

∵在△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°，

∴BP=(3t)cm，

在△PBQ中，BP=3t，BQ=2t，若△PBQ是直角三角形，则

∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

当∠BQP=90°时,BQ=BP，

即2t= (3t)，t=0.6，

当∠BPQ=90°时,BP=BQ，

3t=×2t，t=1.5

当t=0.6或1.5时，△PBQ是直角三角形.

（2）当△BPQ为等边三角形时，

BP=PQ=BQ，

即3t=2t，

解得t=1.

故当t=1时，△BPQ是等边三角形.