Question

如图，抛物线y=﹣x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）直接把A点和C点坐标代入y=﹣x²+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；

（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x=﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD=，然后分类讨论：如图1，当CP=CD时，利用等腰三角形的性质易得P₁（，4）；当DP=DC时，易得P₂（，），P₃（，﹣）；

（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣ x²+x+2），则FE=﹣x²+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S_△BCF=S_△BEF+S_△CEF=•4•EF=﹣x²+4x，加上S_△BCD=，所以S_{四边形CDBF}=S_△BCF+S_△BCD=﹣x²+4x+（0≤x≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF的面积最大，并得到此时E点坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x²+mx+n得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x²+x+2；

（2）存在．

抛物线的对称轴为直线x=﹣=，

则D（，0），

∴CD===，

如图1，当CP=CD时，则P₁（，4）；

当DP=DC时，则P₂（，），P₃（，﹣），

综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；

（3）当y=0时，=﹣x²+x+2=0，解得x₁=﹣1，x₂=4，则B（4，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，

设E（x，﹣ x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣ x²+x+2），

∴FE=﹣x²+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x²+2x，

∵S_△BCF=S_△BEF+S_△CEF=•4•EF=2（﹣x²+2x）=﹣x²+4x，

而S_△BCD=×2×（4﹣）=，

∴S_{四边形CDBF}=S_△BCF+S_△BCD

=﹣x²+4x+（0≤x≤4），

=﹣（x﹣2）²+

当x=2时，S_{四边形CDBF}有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．