Question

20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．三角形ABC的边BC在石轴上，点B的坐标是（-5，0），点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，它们的坐标分别为A（0，m）、C（m-1，0），且OA+OC=7，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度，沿射线BO运动．设点P运动时间为t秒．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）连结PA，当P沿射线BO匀速运动时，是否存在某一时刻，使三角形POA的面积是三角形ABC面积的$\frac{1}{4}$？若存在，请求出t的值，并写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据OA+OC=7，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：P在线段BO上，P在线段BO的延长线上，根据三角形的面积公式，可得t的值，根据线段的和差，可得OP的长．

解答 解：（1）∵OA+OC=7，
∴由题意可得m+m-1=7．
解得m=4，
∴A（0，4）C（3，0）；
（2）S△ABC=$\frac{1}{2}$BC×OA=$\frac{1}{2}$×8×4=16
∴由题意可得 S△POA=16×$\frac{1}{4}$=4
当P在线段OB上时，
S△POA=$\frac{1}{2}$OP×OA=$\frac{1}{2}$（5-2t）×4’
∴4=$\frac{1}{2}$（5-2t）×4，
∴t=$\frac{3}{2}$
则OP=5-2t=2，则P（-2，0）；
 当P在BO延长线上时
∵S△POA=$\frac{1}{2}$OP×OA=$\frac{1}{2}$（2t-5）×4 
∴4=$\frac{1}{2}$（2t-5）×4，
∴t=$\frac{7}{2}$，
则OP=2t-5=2，
 则P（2，0）．

点评 本题考查了坐标与图形的性质，利用线段的和差得出关于m的方程是解题关键，又利用三角形的面积，分类讨论是解题关键．