Question

【题目】已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．

（1）若，函数图象与轴只有一个交点，求的值；

（2）若，，设点的横坐标为，求证：；

（3）若，，问是否存在实数，使得在时，随的增大而增大？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）不存在．

【解析】

（1）根据条件，抛物线化为：y=﹣x2+bx﹣b+1，由△=0即可解决问题．

（2）根据条件，抛物线化为：y=ax2﹣（a+1）x+1，令y=0求出点B横坐标即可．

（3）不存在．由题意：z=y﹣m2x=x2﹣（c+1+m2）x+c，根据对称轴的位置即可判断．

（1）把点A（1，0）代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=0．

∵a=﹣1，∴c=﹣b+1，∴抛物线为y=﹣x2+bx﹣b+1，由题意△=0，∴b2﹣4b+4=0，∴（b﹣2）2=0，∴b=2．

（2）∵b=﹣a﹣c，c=1，∴抛物线为y=ax2﹣（a+1）x+1，令y=0，则有ax2﹣（a+1）x+1=0，∴（x﹣1）（ax﹣1）=0，∴x=1或．

∵0＜a＜1，∴＞1，∴B点的横坐标为xB＞1．

（3）不存在．理由如下：

∵b=﹣a﹣c，a=1，∴b=﹣1﹣c，∴抛物线为y=x2﹣（c+1）x+c，∴z=y﹣m2x=x2﹣（c+1+m2）x+c．

∵对称轴x=．

又∵c≥3，m2≥0，∴对称轴x＞0，∴当0＜x＜时，z随x的增大而减小，∴这样的m不存在．