【题目】如图,AB,AC均为⊙O的切线,切点分别为B,C,点D是优弧BC上一点,则下列关系式中,一定成立的是( )
A. ∠A+∠D=180°B. ∠A+2∠D=180°
C. ∠B+∠C=270°D. ∠B+2∠C=270°
【答案】B
【解析】
连接OB,OC,由AB与AC为圆O的切线,根据切线的性质以及四边形的内角和为360度可对选项A、B作出判断;连接OB、BC,OC,延长BO交圆于E,连接DE,根据直径所对的圆周角是直角,可求得∠DBE+∠E=90°,继而通过角的代换可得∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACO=270°,再根据∠ACB<∠ACO,继而可得∠ABD+∠ACD<270°,∠ABD+∠ACD+∠OCB=270°,由此即可判断C、D选项.
连接OB,OC,如图1所示:
∵AB,AC分别为圆O的切线,
∴AB⊥OB,AC⊥OC,
∴∠ABO=∠ACO=90°,
∴∠A+∠BOC=360°﹣(∠ABO+∠ACO)=180°,
∵∠BOC=2∠D,
∴∠A+2∠D=180°,故A不成立,B成立;
②连接OB、BC,OC,延长BO交圆于E,如图2所示:
∵BE是直径,
∴∠BDE=90°,
∴∠DBE+∠E=90°,
∵∠ABO=∠ACO=90°,∠E=∠BCD,
∴∠ABO+∠DBE+∠BCD=180°,
∴∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACO=270°,
∵∠ACB<∠ACO,
∴∠ABO+∠DBE+∠BCD+∠ACB<270°,
即∠ABD+∠ACD<270°,∠ABD+∠ACD+∠OCB=270°,
∵∠OCB<∠ACD,故C、D都不成立,
故选B.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
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【题目】已知关于x的方程mx2+(4-3m)x+2m-8=0(m>0).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个根分别为x1、x2(x1<x2),若n=x2-x1m,且点B(m,n)在x轴上,求m的值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌ 即可得,则可证得为的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OE∥AB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得与的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
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【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=,点E从A出发沿线段AC运动至点C停止,ED⊥AB,EF⊥AC,将△ADE沿直线EF翻折得到△A′D′E,设DE=x,△A′D′E与△ABC重合部分的面积为y.
(1)当x= 时,D′恰好落在BC上?
(2)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.
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【题目】如图,在⊙O中,弦AC⊥BD于点E,连接AB,CD,BC
(1)求证:∠AOB+∠COD=180°;
(2)若AB=8,CD=6,求⊙O的直径.
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【题目】某中学为推动“时刻听党话 永远跟党走”校园主题教育活动,计划开展四项活动:A:党史演讲比赛,B:党史手抄报比赛,C:党史知识竞赛,D:红色歌咏比赛.校团委对学生最喜欢的一项活动进行调查,随机抽取了部分学生,并将调查结果绘制成图1,图2两幅不完整的统计图.请结合图中信息解答下列问题:
(1)本次共调查了 名学生;
(2)将图1的统计图补充完整;
(3)已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4个学生中只有1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生参加该项目比赛,请用画树状图或列表的方法,求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
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【题目】为了节省材料,某水产养殖户利用水库的一角∠MON(∠MON=135°)的两边为边,用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域,其中区域①为直角三角形,区域②③为矩形,而且四边形OBDG为直角梯形.
(1)若①②③这块区域的面积相等,则OB的长为 m;
(2)设OB=xm,四边形OBDG的面积为ym2,
①求y与x之的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;②x为何值时,y有最大值?最大值是多少?
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B(2,0)、C(0,2)两点,与x轴的另一个交点为A.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D从点C出发沿线段CB以每秒个单位长度的速度向点B运动,作DE⊥CB交y轴于点E,以CD、DE为边作矩形CDEF,设点D运动时间为t(s).
①当点F落在抛物线上时,求t的值;
②若点D在运动过程中,设△ABC与矩形CDEF重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
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