Question

【题目】学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形。

（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个长为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式：______________

（2）若用图1中的8块C型长方形卡片可以拼成如图3所示的长方形，它的宽为20cm，请你求出每块长方形的面积

（3）选取1张A型卡片，3张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S=S2-S1，则当a与b满足_________时，S为定值，且定值为___________.

Answer 1

【答案】（1）a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）75 cm2；（3）a=2b，a2-ab.

【解析】

（1）结合图形，直接由等积法可得完全平方和公式；

（2）结合图形，建立关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可；

（3）设DG长为x，结合图形，用含x的式子分别表示出S1，S2，继而得到S的表达式，根据S为定值，与x无关，从而得到a，b的关系式及定值．

解：（1）A型卡片的面积为a2，B型卡片的面积为b2，C型卡片的面积为ab，
题中已经选择1张A型卡片，2张C型卡片，一张B型卡片，面积之和为a2+2ab+b2，由图可知，也正好拼成了一个边长为（a+b）的正方形，由此可以得到一个完全平方公式，故答案为：a2+2ab+b2=（a+b）2；

（2）由图可得关于a，b的二元一次方程

，

解得：，

S=ab=5×15=75 (cm2)

故每个C型长方形的面积为75 cm2

（3）设DG长为x，由图可知
S1=a[x-（a+b）]=ax-a2-ab
S2=2b（x-a）=2bx-2ab
S=S2-S1= 2bx-2ab-( ax-a2-ab)=(2b-a)x+a2-ab
由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，
可知当2b-a=0时，即a=2b时，S= a2-ab为定值
故答案为：a=2b，a2-ab.