Question

【题目】已知在平面直角坐标系（如图）中，抛物线经过点、点，点与点关于这条抛物线的对称轴对称；

（1）求配方法求这条抛物线的顶点坐标；

（2）联结、，求的正弦值；

（3）点是这条抛物线上的一个动点，设点的横坐标为（），过点作轴的垂线，垂足为，如果，求的值；

Answer 1

【答案】（1）定点坐标（1，-）；（2）；（3）或（舍去负

【解析】

试题分析：（1）因A、C在抛物线上，代入可把抛物线y的解析式求出，通过配方即可得抛物线的顶点坐标．

（2）由（1）可知对称轴x=1,且A、B关于x=1对称，可知B（-2,0），AB=6．

又因△ABH为等腰三角形，根据，所以，在Rt△BOC中，BC=，又因在Rt△BCH中，可求出．

（3）要求P的横坐标M，就要知道P点构成的Rt△OPQ中的的值，又因，故，在设P，代入抛物线，解得或（舍去负值）．

试题解析：（1）代入A（4，0），C（0，-4），得抛物线解析式为，配方得，顶点坐标为（1，）．

作于H，由已知，抛物线对称轴为直线x=1，故B（-2，0），AB=6，由OA=OC=4，则，故△ABH为等腰直角三角形．因此BH=AH=，又，故Rt△BCO中，．

（3）Rt△BCO中，，故Rt△OPQ中，，故可设，分别代入抛物线解析式，解得或（舍去负值）．