Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．

（1）求证：AD⊥DC；

（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

Answer 1

 

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质． 

专题： 综合题；压轴题．

分析： （1）连接OC，根据切线的性质得到OC与CD垂直，进而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC为角平分线，根据角平分线定义得到两个角相等，又OA=OC，根据等边对等角得到又得到另两个角相等，等量代换后得到∠DAC=∠OCA，根据等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，从而得到∠ADC为直角，得证；

（2）连接CB，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB与∠ADC相等都为直角，又根据AC为角平分线得到一对角相等，由两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形ADC与三角形ABC相似，由相似得比例列出关系式，把AC和AD的长即可求出AB的长．

解答： 解：（1）连接OC，

∵直线CD与⊙O相切于点C，

∴OC⊥CD．

∴∠OCA+∠DCA=90°，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

又∵在⊙O中，OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴∠DCA+∠DAC=90°，

则∠ADC=90°，

即AD⊥DC；

 

（2）连接BC．

∵AB为圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴，即，

则．

点评： 此题考查了切线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．同时要求学生掌握直径所对的圆周角为直角．圆与相似三角形及三角函数相融合的解答题、与切线的性质和判定有关的证明题是近几年中考的热点试题．