Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．

（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．

①求抛物线的解析式；

②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．

Answer 1

【答案】（1）2a﹣b+2=0（a≠0）；（2）①y=﹣x2+2；②详见解析.

【解析】

（1）由抛物线经过点A可求出c=2，再把（﹣，0）代入抛物线的解析式，即可得2a﹣b+2=0（a≠0）；

（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b=0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，即可求得抛物线的解析式；②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣+2）、点N的坐标为（x2，﹣+2），由O、M、N三点共线可得出x2=﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），

∴c=2．

又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，

∴a（﹣）2+b（﹣）+c=0，

∴2a﹣b+2=0（a≠0）．

（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，

∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，

∴当x＜0时，y随x的增大而增大；

同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，

∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，

∴b=0．

∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，

∴△ABC为等腰三角形，

又∵△ABC有一个内角为60°，

∴△ABC为等边三角形．

设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°，

又∵OB=OC=OA=2，

∴CD=OCcos30°=，OD=OCsin30°=1．

不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．

∵点C在抛物线上，且c=2，b=0，

∴3a+2=﹣1，

∴a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2．

②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．

直线OM的解析式为y=k1x（k1≠0）．

∵O、M、N三点共线，

∴x1≠0，x2≠0，且=，

∴﹣x1+=﹣x2+，

∴x1﹣x2=﹣，

∴x1x2=﹣2，即x2=﹣，

∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．

设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．

∵点P是点O关于点A的对称点，

∴OP=2OA=4，

∴点P的坐标为（0，4）．

设直线PM的解析式为y=k2x+4，

∵点M的坐标为（x，﹣+2），

∴﹣+2=k2x1+4，

∴k2=﹣，

∴直线PM的解析式为y=﹣+4．

∵﹣+4==﹣+2，

∴点N′在直线PM上，

∴PA平分∠MPN．