【题目】在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点分别为A(0,4)、B(﹣4,0)、C(0,﹣4)、D(4,0),对于图形M,给出如下定义:点P为图形M上任意一点,点Q为正方形ABCD边上任意一点,如果P、Q两点间的距离有最大值,那么称这个最大值为图形M的“正方距”,记作d(M).
(1)已知点E(0,2),G(﹣1,﹣1).
①如图1,直接写出d(点E),d(点G)的值;
②如图2,扇形EOF圆心角∠EOF=45°,将扇形EOF绕点O顺时针旋转α角(0<α<180°)得到扇形E'OF',当d(扇形E'OF')取最大值时,求α角的取值范围;
(2)点P为平面内一动点,且满足d(点P)=6,直接写出OP长度的取值范围.
【答案】(1)①d(点E)=6,d(点G);②45°<α<90°或135°<α<180°;(2)2≤OP≤.
【解析】
(1)①根据“正方距”的定义,d(点E)=EC,d(点G)=GA.
②观察图象可知当扇形OE′F′与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时,d(扇形E′OF′)取最大值,由此写出α的范围即可.
(2)如图3中,分别以A,B,C,D为圆心,6为半径画弧,得到图中的4条弧(红线),当点P在图中红线上时,d(点P)=6,求出OP的最大值以及最小值即可解决问题.
(1)①如图1中,连接AG.
由题意:d(点E)=EC=6,d(点G)=GA.
②观察图象可知当扇形OE'F'与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时,d(扇形E'OF')取最大值,
所以45°<α<90°或135°<α<180°时,满足条件.
(2)如图3中,分别以A,B,C,D为圆心,6为半径画弧,得到图中的4条弧(红线),当点P在图中红线上时,d(点P)=6,
设图中P(m,m).
∵PB=6,
∴m2+(4+m)2=36,
解得:m=﹣2或﹣2(舍弃),
∴P(﹣2,﹣2),
∴OP的最大值=OPm=﹣22,
∵OP的最小值=OP'=2,
∴2≤OP≤﹣22.
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【题目】某商品的进价为每件20元,售价为每件30元,每个月可卖出180件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月就会少卖出10件,但每件售价不能高于35元,设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;求x为何值时y的值为1920?
(2)每件商品的售价为多少元时,每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】在平面直角坐标系中,,(),以为直径画圆⊙,点为⊙上一动点.
(1)判断坐标原点是否在⊙上,并说明理由;
(2)若点在第一象限,过点作轴,垂足为,连接,且,当时,求线段的长:
(3)若点是的中点,试问随着的变化点的坐标是否发生变化,若不变,求出点的坐标;若变化,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0) B(1,3)两点,点C 、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H
(1)求抛物线的解析式.
(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积.
(3)点P是抛物线BA段上一动点,当△ABP的面积为3时,求出点P的坐标.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,将△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE,点C的对应点E恰好落在AB上.
(1)求∠DBC的度数;
(2)当BD时,求AD的长.
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【题目】打折前,买20件A商品和30件B商品要用2200元,买50件A商品和10件B商品要用2900元.若打折后,买40件A商品和40件B商品用了3240元,比不打折少花多少钱?
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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A(-1,0),B(5,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直x轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;
(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】设△ABC,点P是平面内的任意一点(A、B、C三点除外),若点P与点A、B、C中任意两点的连线的夹角为直角时,则称点P为△ABC的一个勾股点.
(1)如图1,若点P是△ABC内一点,∠A=50°,∠ACP=10°,∠ABP=30°,试说明点P是△ABC的一个勾股点.
(2)如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,点P在射线CD上,若点P是△ABC的勾股点,则CP= ;
(3)如图3,四边形ABDC中,DB=DA,∠BCD=45°,AC=,CD=3.则点D能否是△ABC的勾股点,若能,求出BC的长:若不能,请说明理由.
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【题目】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
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