Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线L是抛物线的对称轴，
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在y轴上有一个点D，使△AOD和△BOC相似，求点D坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
（2）根据题意可知△BOC为等腰直角三角形，然后找出与点D，使△AOD和△BOC相似．

解答：解：（1）将点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c得，

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

．
则抛物线解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）由题意得，△BOC为等腰直角三角形，
要使△AOD和△BOC相似，
则

OD

AO

=

CO

BO

，
代入得：

OD

1

=

3

3

，
解得：OD=1，
则点D的坐标为（0，1）或（0，-1）．

点评：本题考查了二次函数的综合应用，涉及了抛物线的性质、待定系数法求解析式、等腰直角三角形的判定、相似三角形的性质等知识，解题的关键是注意点D有两个位置，一个在y轴正半轴一个在y轴负半轴，注意不要漏解．