Question

3．如图、矩形ABCD中，AB=8，AD=6．点M是对角线AC上的一个动点，以M点为圆心，线段AM长为半径画一个⊙M，若⊙M在以C为端点的矩形ABCD边上截得的线段EF=$\frac{6}{5}$AM，则线段AM的长是$\frac{30}{7}$或5．

Answer 1

分析 作MN⊥EF于N，连接MF，由垂径定理得出EN=FN=$\frac{1}{2}$EF，设AM=5x，则MF=5x，EF=6x，得出FN=3x，由勾股定理得出MN=4x，由矩形的性质和勾股定理求出AC，由平行线的性质得出比例式求出MN=$\frac{3}{5}$（10-5x），得出方程$\frac{3}{5}$（10-5x）=4x，解方程求出x，得出AM；当M为AC的中点时，AM=MC，得出方程，解方程求出x，得出AM即可．

解答 解：作MN⊥EF于N，连接MF，如图所示：
则EN=FN=$\frac{1}{2}$EF，∠MNF=90°，
∵EF=$\frac{6}{5}$AM，
∴设AM=5x，则MF=5x，EF=6x，
∴FN=3x，
由勾股定理得：MN=$\sqrt{M{F}^{2}-F{N}^{2}}$=4x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，∠D=∠B=90°=∠MNF，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，MN∥AD，
∴$\frac{MN}{AD}=\frac{MC}{AC}$，
即$\frac{MN}{6}=\frac{10-5x}{10}$，
解得：MN=$\frac{3}{5}$（10-5x），
∴$\frac{3}{5}$（10-5x）=4x，
解得：x=$\frac{6}{7}$，
∴AM=$\frac{30}{7}$；
当M为AC的中点时，AM=MC，
即5x=10-5x，
解得：x=1，
∴AM=5；
综上所述：线段AM的长是$\frac{30}{7}$或5．
故答案为：$\frac{30}{7}$或5．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握矩形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．