Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+x﹣与x轴相交于A，B两点，顶点为P．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）存在符合条件的点E，其坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）或（﹣1，﹣2）．

【解析】

（1）令y=0可求得相应方程的两根，则可求得A、B的坐标；

（2）可先求得P点坐标，则可求得点E到AB的距离，可求得E点纵坐标，再代入抛物线解析式可求得E点坐标．

（1）令y=0，则x2+x0，

解得：x=﹣3或x=1，

∴A(﹣3，0)，B(1，0)；

（2）存在．理由如下：

∵yx2+x(x+1)2﹣2，

∴P(﹣1，﹣2)．

∵△ABP的面积等于△ABE的面积，

∴点E到AB的距离等于2，

①当点E在x轴下方时，则E与P重合，此时E(﹣1，﹣2)；

②当点E在x轴上方时，则可设E(a，2)，

∴a2+a2，解得：a=﹣1﹣2或a=﹣1+2，

∴E(﹣1﹣2，2)或E(﹣1+2，2)．

综上所述：存在符合条件的点E，其坐标为(﹣1﹣2，2)或(﹣1+2，2)或(﹣1，﹣2)．