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【题目】我们把有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形叫做同族三角形,如图1,在△ABC△ABD中,AB=ABAC=AD∠B=∠B,则△ABC△ABD同族三角形

1)如图2,四边形ABCD内接于圆,点C是弧BD的中点,求证:△ABC△ACD是同族三角形;

2)如图3ABC内接于⊙O,⊙O的半径为AB=6,∠BAC=30°,求AC的长;

3)如图3,在(2)的条件下,若点D在⊙O上,ADCABC是非全等的同族三角形,ADCD,求 的值.

【答案】(1)详见解析;(2)3+3;(3 =

【解析】

(1)由点C是弧BD的中点,根据弧与弦的关系,易得BC=CD,∠BAC=DAC,又由公共边AC,可证得:△ABC和△ACD是同族三角形;

(2)首先连接0AOB,作点BBEAC于点E,易得△AOB是等腰直角三角形,继而求得答案;

(3)分别从当CD=CB时与当CD=AB时进行分析求解即可求得答案.

1)证明:C是弧BD的中点,即

∴BC=CD∠BAC=∠DAC

∵AC=AC

∴△ABC△ACD是同族三角形.

2)解:如图1,连接OAOB,作点BBE⊥AC于点E

∵OA=OB=3AB=6

∴OA2+OB2=AB2

∴△AOB是等腰直角三角形,且∠AOB=90°

∴∠C=∠AOB=45°

∵∠BAC=30°

∴BE=AB=3

∴AE==3

∵CE=BE=3

∴AC=AE+CE=3+3.

3)解:∵∠B=180°∠BAC∠ACB=180°30°45°=105°

∴∠ADC=180°∠B=75°

如图2,当CD=CB时,∠DAC=∠BAC=30°

∴∠ACD=75°

∴AD=AC=3+3CD=BC=BE=3

=

如图3,当CD=AB时,过点DDF⊥AC,交AC于点F

∠DAC=∠ACB=45°

∴∠ACD=180°∠DAC∠ADC=60°

∴DF=CDsin60°=6×=3

∴AD=DF=

=

综上所述: =.

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