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【题目】在△ABC中,DE分别是△ABC两边的中点,如果弧DE(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC的内部或边上,则称弧DE为△ABC的中内弧.例如,图1中弧DE是△ABC其中的某一条中内弧.

1)如图2,在边长为4的等边△ABC中,DE分别是ABAC的中点.画出△ABC的最长的中内弧DE,并直接写出此时弧DE的长;

2)在平面直角坐标系中,已知点A26),B00),Ct0),在△ABC中,DE分别是ABAC的中点.

t2,求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围;

请写出一个t的值,使得△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值.

【答案】1)图详见解析,;(2mm3t4

【解析】

1)如图1中,由垂径定理可知,圆心O在线段DE的垂直平分线上,当点O是△ABC的内心时,内弧最长,利用弧长公式计算即可.

2)如图2中,由垂径定理可知,圆心一定在线段DE的垂直平分线上,DE的垂直平分线交DEF,作DO′交DE的垂直平分线于点O′.

O′(m)由三角形中内弧定义可知,圆心在线段DE上方射线FP上均可,可得m3.当ODOA时,在RtDFO′中,∵DF,∠FDO′=30°,可得OF,推出O′(),根据三角形中内弧的定义可知,圆心在点O′的下方(含点O′)时也符合要求,可得m

如图3中,当△AOC是等边三角形时,内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值.此时t

解:(1)如图1中,由垂径定理可知,圆心O在线段DE的垂直平分线上,

∵△ABC是等边三角形,

∴当点O是△ABC的内心时,内弧最长,

RtOHC中,

CH,∠OCH30°,

OHCHtan30°=2

∵∠ADE=∠AEO90°,∠DAE60°,

∴∠DOE120°,

的长=

2如图2中,

如图2中,由垂径定理可知,圆心一定在线段span>DE的垂直平分线上,DE的垂直平分线交DEF

t时,C0),A6),

D3),E6),F3),

O′(m)由三角形中内弧定义可知,圆心在线段DE上方射线FP上均可,∴m3

tanAOC

∴∠AOC60°,

DEOC

∴∠ADE60°,

ODOA时,在RtDFO′中,∵DF,∠FDO′=30°,

OF

O′(),

根据三角形中内弧的定义可知,圆心在点O′的下方(含点O′)时也符合要求,

m

综上所述,mm3

如图3中,当△AOC是等边三角形时,内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值.此时t4

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(2)填空:当∠CAB的度数为________时,四边形ACFD是菱形.

【答案】30°

【解析】(1)连结OC,如图,由于∠A=OCA,则根据三角形外角性质得∠BOC=2A,而∠ABD=2BAC,所以∠ABD=BOC,根据平行线的判定得到OCBD,再CEBD得到OCCE,然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线;
(2)根据三角形的内角和得到∠F=30°,根据等腰三角形的性质得到AC=CF,连接AD,根据平行线的性质得到∠DAF=F=30°,根据全等三角形的性质得到AD=AC,由菱形的判定定理即可得到结论.

答:

(1)证明:连结OC,如图,

OA=OC

∴∠A=OCA

∴∠BOC=A+OCA=2A

∵∠ABD=2BAC

∴∠ABD=BOC

OCBD

CEBD

OCCE

CF为⊙O的切线;

(2)当∠CAB的度数为30°时,四边形ACFD是菱形,理由如下

∵∠A=30°,

∴∠COF=60°,

∴∠F=30°,

∴∠A=F

AC=CF

连接AD

AB是⊙O的直径,

ADBD

ADCF

∴∠DAF=F=30°,

ACBADB,

∴△ACB≌△ADB

AD=AC

AD=CF

ADCF

∴四边形ACFD是菱形。

故答案为:30°.

型】解答
束】
22

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