Question

13．如图所示，菱形ABCD中，AB=4，E为BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．
（1）求证：四边形AECG是矩形．
（2）求∠CHA的度数．
（3）求菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出AD∥BC，AB=BC=4，由已知条件证出四边形AECG是平行四边形，再证出∠AEC=90°，即可得出结论；
（2）连接AC，证明△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质求出∠CAE，再求出∠CAF，得到∠EAF，然后求出AE∥CG，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
（3）由三角函数求出AE，即可求出菱形的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=BC=4，
∵CG∥AE，
∴四边形AECG是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
∴四边形AECG是矩形．
（2）解：连接AC，如图所示：
∵E为BC中点，AE⊥BC，
∴AB=AC，
∵AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴∠B=∠BAC=60°，
在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
同理∠CAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°，
∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC，
∴AE∥CG，
∴∠AHC=180°-∠EAF=180°-60°=120°．
（3）解：∵∠B=60°，∠AEB=90°，
∴AE=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积=BC•AE=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$

点评 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟记各性质并准确识图，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键．