Question

3．观察等式：$\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，2+\frac{2}{3}=\frac{4×2}{3}，\sqrt{5}+\frac{{\sqrt{5}}}{4}=\frac{{5\sqrt{5}}}{4}$，…
（1）你能猜想有什么规律呢？请用含n的式子表示（n≥3的整数）$\sqrt{n}$+$\frac{\sqrt{n}}{n-1}$=$\frac{n\sqrt{n}}{n-1}$（n≥3的整数）；
（2）按上述规律，若$\sqrt{10}+\frac{a}{b}=\frac{10a}{9}$，则a+b=$\sqrt{10}$+9；
（3）仿照上面内容，另编一个等式，验证你在（1）中得到的规律．

Answer 1

分析 （1）仿照已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）根据得出的规律确定出a与b的值，即可求出a+b的值；
（3）根据题意写出满足题意的等式，验证即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\sqrt{n}$+$\frac{\sqrt{n}}{n-1}$=$\frac{n\sqrt{n}}{n-1}$（n≥3的整数）；
（2）根据题意得：$\sqrt{10}$+$\frac{\sqrt{10}}{9}$=$\frac{10\sqrt{10}}{9}$，得到a=$\sqrt{10}$，b=9，即a+b=$\sqrt{10}$+9；
（3）$\sqrt{11}$+$\frac{\sqrt{11}}{10}$=$\frac{11\sqrt{11}}{10}$．
故答案为：（1）$\sqrt{n}$+$\frac{\sqrt{n}}{n-1}$=$\frac{n\sqrt{n}}{n-1}$（n≥3的整数）；（2）$\sqrt{10}$+9

点评 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．