Question

4．已知：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，点F为直线AD上任意一点，过点A作直线AC⊥BF，垂足为点E，直线AC交直线BD于点C，过点F作FG∥BD，交直线AB于点G．
【问题探究】
（1）如图1，点F在边AD上，则线段GF、DC、BD之间满足的数量关系是GF+DC=BD；
【变式探究】
（2）如图2，若点F在边AD的延长线上，猜想线段FG、DC、BD之间满足的数量关系，并证明你的结论；
【迁移拓展】
（3）如图3，在（2）在条件下，在DF=6，GF=10，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点，当FM=2时，求线段NG的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△BDF≌△ADC，得出DF=DC，再证明FG=AF，即可得出结论；
（2）过点B作BH⊥GF于点H，由△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形．得出AD=BD，AF=FG，再证明△ADC≌△BDF，得出DC=DF，即可得出结论；
（3）作NP⊥AG于P，由四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，得出BH=DF=6，PG=PN，设PG=PN=x，则NG=$\sqrt{2}$x，再证出∠PBN=∠MBH，得出tan∠PBN=tan∠MBH=$\frac{1}{3}$，得BP=3PN=3x，列出方程x+3x=6$\sqrt{2}$，解方程即可得出结果．

解答 解：（1）FG+DC=BD；理由：
∵∠ADB=90°，∠ABD=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=45°，
∴AD=BD，∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ADC=90°}\\{BD=AD}\\{∠DBF=∠DAC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC，
∵FG∥BD，
∴∠AFG=∠ADB=90°，∠AGF=∠ABD=45°，
∴FG=AF，
∴FG+DC=AF+DF=AD=BD；
故答案为：FG+CD=BD；

（2）FG=DC+BD；理由如下：
过点B作BH⊥GF于点H，如图2所示：
则四边形DFHB是矩形，
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，FG∥BD，
∴△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形，
∴AD=BD，AF=FG，
∵AC⊥BF，
∴∠CEB=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵∠C+∠DAC=90°，∠CBE=∠DBF，
∴∠DAC=∠DBF，∠ADB=90°，
在△ADC和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BDF=90°}\\{AD=BD}\\{∠DAC=∠DBF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DC=DF，
∴AF=DF+AD=DC+BD，
∴FG=DC+BD；
（3）作NP⊥AG于P，如图3所示：
则四边形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，
∴BH=DF=6，PG=PN，
设PG=PN=x，则NG=$\sqrt{2}$x，
∵∠G=45°，
∴GH=BH=6，BG=6$\sqrt{2}$，∠GBH=45°，
∵∠MBN=45°，
∴∠PBN=∠MBH，
∴tan∠PBN=tan∠MBH=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴BP=3PN=3x，
∴PG+BP=x+3x=4x=6$\sqrt{2}$，
解得：x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴NG=$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=3．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明等腰直角三角形和运用三角函数才能得出结论．