Question

【题目】如图，△ABC是⊙O内接三角形，AB是⊙O的直径，C是弧AF的中点，弦BC，AF相交于点E，在BC延长线上取点D，使得AD=AE．

（1）求证：AD是⊙O切线；

（2）若∠OEB=45°，求sin∠ABD的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）本题考查切线的证明，总体思路是“证垂直以及半径”，根据题干AB为直径，此处考查圆周角定理的运用；根据C是弧的中点，此处考查同弧所对的圆周角相等，综合以上通过直角互余以及角的互换解答本题．

（2）本题考查圆周角定理以及正弦三角函数综合运用，需要通过弧等推角等，边等推角等，结合图形特点选取合适的三角形进行角的互换，进一步推出边的关系解答此题．

（1）∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°.

∴∠CBA+∠CAB=90°.

又∵AD=AE，

∴∠CAD=∠CAE.

∵C是 的中点，

∴

∴∠CAE=∠CBA.

∴∠CAD+∠CAB=90°.

∴OA⊥DA.

又∵OA是⊙O的半径，

∴DA是⊙O的切线.

（2）∵C是 的中点，

∴

∴∠CBF=∠CBA.

设∠CBF=∠CBA=x，∠FAB=y.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°.

∴y+2x=90°，y=90°－2x.

∵∠FEB=y+x，

∴∠AEO=180°－∠OEB－∠FEB

=180°－45°－y－x

=135°－x－y

=135°－x－(90°－2x)

=45°+x，

又∵∠AOE=∠OBE+∠OEB=45°+x，

∴∠AEO=∠AOE.

∴AE=AO.

∵∠ACB=∠ACB，∠CAE=∠CBA，

∴△CEA∽△CAB.

∴ .

∴,

∴ .