Question

【题目】若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．

（1）若“路线”l的表达式为y=﹣x+2，它的“带线”L的顶点在反比例函数y=的图象上，求“带线”L的表达式；

（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标

Answer 1

【答案】（1） “带线”L的解析式为y=x2﹣2x+2；（2）m、n的值分别为2，﹣2；（3）P点坐标为（，）．

【解析】

（1）根据新定义，通过解方程组 得带线”L的顶点坐标为（1，1），再求出“路线”l与y轴的交点坐标为（0，2），根据题意”带线”L经过点（0，2），然后利用待定系数法求带线”L的解析式；

（2）先确定直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），利用新定义把（0，1）代入y=mx2﹣2mx+m﹣1可得m=2，再利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），

然后把顶点坐标代入y=nx+1中可得到n的值；

（3）由（2）得A（0，1），作PA⊥直线y=﹣2x+1交抛物线与P，如图，利用两一次函数垂直一次项系数的关系得到直线PA的解析式为y=x+1，然后通过解方程组 得P点坐标．

（1）解方程组得 ，则带线”L的顶点坐标为（1，1），

当x=0时，y=﹣x+2=2，则“路线”l与y轴的交点坐标为（0，2），

根据题意”带线”L经过点（0，2），

设“带线”L的解析式为y=a（x﹣1）2+1，

把（0，2）代入得a+1=2，解得a=1，

∴“带线”L的解析式为y=（x﹣1）2+1，即y=x2﹣2x+2；

（2）当x=0时，y=nx+1=1，则直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），

把（0，1）代入y=mx2﹣2mx+m﹣1得m﹣1=1，解得m=2，

∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x+1，

∵y=（x﹣1）2﹣1，

∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），

把（1，﹣1）代入y=nx+1得n+1=﹣1，解得n=﹣2，

即m、n的值分别为2，﹣2；

（3）由（2）得A（0，1），

作PA⊥直线y=﹣2x+1交抛物线与P，如图，

设直线PA的解析式为y=x+t，

把A（0，1）代入得t=1，

∴直线PA的解析式为y=x+1，

解方程组得或 ，

∴P点坐标为（ ， ）．