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【题目】如图,将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相交,设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,折痕分别与边BC,AD相交于点E,F.

(1)判断四边形CEGF的形状,并证明你的结论;

(2)若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围.

【答案】(1)四边形CEGF为菱形,理由详见解析;(2)3CE5.

【解析】

试题分析:(1)根据折叠的性质,易证EFG是等腰三角形,根据等腰三角形的性质可得GF=EC,又由GFEC,即可得四边形CEGF为平行四边形,根据邻边相等的平行四边形是菱形,即可得四边形BGEF为菱形;(2)如图1,当G与A重合时,CE取最大值,由折叠的性质得CD=DG,CDE=GDE=45°,推出四边形CEGD是矩形,根据矩形的性质即可得到CE=CD=AB=3;如图2,当F与D重合时,CE取最小值,由折叠的性质得AE=CE,根据勾股定理即可得到结论.

试题解析:(1)证明:四边形ABCD是矩形,

ADBC,

∴∠GFE=FEC,

图形翻折后点G与点C重合,EF为折线,

∴∠GEF=FEC,

∴∠GFE=FEG,

GF=GE,

图形翻折后BC与GE完全重合,

BE=EC,

GF=EC,

四边形CEGF为平行四边形,

四边形CEGF为菱形;

(2)解:如图1,当F与D重合时,CE取最小值,

由折叠的性质得CD=DG,CDE=GDE=45°

∵∠ECD=90°

∴∠DEC=45°=CDE,

CE=CD=DG,

DGCE,

四边形CEGD是矩形,

CE=CD=AB=3;

如图2,当G与A重合时,CE取最大值,

由折叠的性质得AE=CE,

∵∠B=90°

AE2=AB2+BE2,即CE2=32+(9CE)2

CE=5,

线段CE的取值范围3CE5.

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