【题目】已知:如图,AB为⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC于点E.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)若DE=2,tanC=,求⊙O的直径.
【答案】(1)证明见解析;(2)5.
【解析】(1)连接OD,利用D是AC中点,O是AB中点,那么OD就是△ABC的中位线,利用三角形中位线定理,可知OD∥BC,而DE⊥BC,则∠DEC=90°,利用平行线的性质,有∠ODE=∠DEC=90°,即DE是⊙O的切线;
(2)连接BD,由于AB是直径,那么∠ADB=90°,即BD⊥AC,在△ABC中,点D是AC中点,于是BD是AC的垂直平分线,那么BA=BC,在Rt△CDE中,DE=2,tanC=,可求CE=4,再利用勾股定理可求CD=2,同理在Rt△CDB中,CD=2,tanC=,可求BD=,利用勾股定理可求BC=5,从而可知BA=BC=5.
(1)证明:连接OD.
∵D为AC中点,O为AB中点,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴∠DEC=90°,
∴∠ODE=∠DEC=90°,
∴OD⊥DE于点D,
∴DE为⊙O的切线;
(2)连接DB,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴DB⊥AC,
∴∠CDB=90°
∵D为AC中点,
∴AB=BC,
在Rt△DEC中,
∵DE=2,tanC=,
∴EC==4,
由勾股定理得:DC=2,
在Rt△DCB中,BD=DCtanC=,
由勾股定理得:BC=5,
∴AB=BC=5,
∴⊙O的直径为5.
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【题目】某儿童游乐园门票价格规定如下表:
购票张数 | 1~50张 | 51~100张 | 100张以上 |
每张票的价格 | 13元 | 11元 | 9元 |
某校七年级(1)、(2)两个班共102人今年6.1儿童节去游该游乐园,其中(1)班人数较少,不足50人.经估算,如果两个班都以班为单位购票,则一共应付1218元.问:
(1)两个班各有多少学生?
(2)如果两班联合起来,作为一个团体购票,可以节省多少钱?
(3)如果七年级(1)班有10名学生因学校有任务不能参加这次旅游,请你为两个班设计出购买门票的方案,并指出最省钱的方案.
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【题目】为了解某校八年级男生的体能情况,体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试,并对成绩进行了统计,绘制成两个不完整的统计图,请结合图中信息回答下列问题:
(1)本次抽测的男生有 人,请将条形图补充完成,本次抽测成绩的中位数是 次;
(2)若规定引体向上6次及其以上为体能达标,则该校500名八年级男生中估计有多少人体能达标?
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,点E是AD上一动点(不与A、D重合),点F是CD上一动点,且AE+CF=4,则△DEF面积的最大值为__________
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【题目】张华随爸爸来西安游玩,他们还有四个旅游景点没去,分别是西安以东的兵马俑和华山,西安以西的乾陵和法门寺。由于仅剩两天的时间,张华不能游玩所有风景区,于是爸爸让张华从四张旅游景点图片(大小、形状及背面图案完全相同)中抽签确定.爸爸将这四张图片背面朝上洗匀后,让张华先随机抽取一张(不放回),再抽取一张,若抽到的两个景点都在西安以东或都在西安以西,则爸爸带他到这两个景点旅游,否则只能去一个景点旅游(兵马俑、华山、乾陵、法门寺这四张图片分别用B,H,Q,F表示).
(1)求张华抽到景点兵马俑的图片的概率;
(2)请你用列表或画树状图的方法求张华能去两个景点旅游的概率.
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【题目】如图,将沿着过中点的直线折叠,使点落在边上的,称为第次操作,折痕到的距离记为;还原纸片后,再将沿着过中点的直线折叠,使点落在边上的处,称为第次操作,折痕到的距离记为;按上述方法不断操作下去…,经过第次操作后得到的折痕,到的距离记为,若,则的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋,检测每袋的质量是否符合标准,超过或不足的部分分别用正、负数来表示,记录如下表:
与标准质量的差值 (单位:克) | 5 | 2 | 0 | 1 | 3 | 6 |
袋 数 | 1 | 4 | 3 | 4 | 5 | 3 |
(1)这批样品的平均质量比标准质量多还是少?多或少几克?
(2)若标准质量为450克,则抽样检测的20袋食品的总质量为多少克?
(3)若该种食品的合格标准为450±5克,求该食品的抽样检测的合格率.
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【题目】如图1,滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面,为立柱上的滑动调节点,伞体的截面示意图为,为中点,,,,.当点位于初始位置时,点与重合(图2).根据生活经验,当太阳光线与垂直时,遮阳效果最佳.
(1)上午10:00时,太阳光线与地面的夹角为(图3),为使遮阳效果最佳,点需从上调多少距离?(结果精确到)
(2)中午12:00时,太阳光线与地面垂直(图4),为使遮阳效果最佳,点在(1)的基础上还需上调多少距离?(结果精确到)
(参考数据:,,,,)
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【题目】正方形ABCD的边长为1,其面积记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积记为S2,…按此规律继续下去,则S2019的值为( )
A.B.C.D.
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