Question

【题目】如图，在中，，，点是边上的动点（点与点、 不重合），过点作交射线于点 ，联结，点是的中点，过点 、作直线，交于点，联结、．

（1）当点在边上，设, ．

①写出关于 的函数关系式及定义域；

②判断的形状，并给出证明；

（2）如果，求的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②详见解析；（2）或

【解析】

（1）①先证△DEB为等腰直角三角形，设DB=x，CE=y知EB=x，由EB+CE=4知x+y=4，从而得出答案；
②由∠ADE=90°，点F是AE的中点知CF=AF=AE，DF=AF=AE，据此得出CF=DF，再由∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD知∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，结合∠CAB=45°知∠CFD=90°，据此可得答案；
（2）分点E在BC上和BC延长线上两种情况，分别求出DF、GF的长，从而得出答案．

(1)①∵，，

，，

又，

为等腰直角三角形，

，，

，

又，

，

；

②，，

，

点是的中点，

，，

，∠CAF=∠ACF，∠EAD=∠FDA，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形；

(2)如图，当点在上时，，，

在中，，

则，

∴sin∠CAE=

，

又，

由（2）得：，

∴∠CFG=90°，

∴

∴，

；

如图，当点在延长线上时，，

同理可得，

在中，，

，

综上所述：DG的长为或．