Question

【题目】某公司购进一种商品的成本为30元/kg，经市场调研发现，这种商品在未来90天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的相关信息如图，销售量y（kg）与时间t（天）之间满足一次函数关系，且对应数据如表，设第t天销售利润为w（元）

时间t（天）	10	30
每天的销售量 y（kg）	180	140

（1）分别求出售单价p（元/kg）、销售量y（kg）与时间t（天）之间的函数关系式；

（2）问：销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2t+200，；（2）第45天利润最大，最大利润为6050 元．

【解析】

（1）设y=k1t+b，利用待定系数法即可得解，当0＜t＜50时，设p=k2t+40，利用待定系数法即可得解，当50≤t≤90时，p=90；

（2）利用销量×每千克利润=总利润，得到w关于t的函数关系式，然后根据函数性质求得最大值即可.

（1）设y=k1t+b，把t=10，y=180；t=30，y=140代入得到：

，

解得：，

∴y=﹣2t+200；

当0＜t＜50时，设p=k2t+40，由图象得B（50，90），

∴50k+40=90，

∴k2=1，

∴p=t+40，

当50≤t≤90时，p=90；

（2）w=（﹣2t+200）（t+40﹣30）=﹣2t2+180t+2000=﹣2（t﹣45）2+6050，

所以当t=45时w最大值为6050元，

w=（﹣2t+120）（90﹣30）=﹣120t+12000，

因为﹣120＜0，

∴w随x增大而减小，

所以t=50时，w最大值=6000，

综上所述，第45天利润最大，最大利润为6050 元．