Question

【题目】问题提出学习了全等三角形的判定方法（“SSS”“SAS”“ASA”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

初步思考：将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF.然后对∠ABC进行分类，可分为“∠ABC是锐角、直角、钝角”三种情况进行探究。

第一种情况：当∠ABC是锐角时，AB=DE不一定成立；

第二种情况：当∠ABC是直角时，根据“HL”，可得△ABC≌ΔDEF，则AB=DE；

第三种情况：当∠ADC是钝角时，则AB=DE.

如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF，且∠ABC是钝角，求证：AB=DE.

方法归纳化归是一种有效的数学思维方式，一般是将未解决的问题通过交换转化为已解决的问题.观群发现第三种情况可以转化为第二种情况，如图，过点C作CG⊥AB交廷长线于点G.

(1)在ΔDEF中用尺规作出DE边上的高FH，不写作法，保留作图痕迹；

(2)请你完成(1)中作图的基础上，加以证明AB=DE.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）尺规作图作FH⊥DE交DE延长线于H即可；

（2）先证明ΔBCG≌ΔEFH,得到BG=EH，再证明RtΔACG≌RtΔDFH,得到AG=DH,然后可得AB=DE.

解：(1)作出高FH，如图所示：

（2）

∵,

∴,

又∵CG⊥AG，FH⊥DH,

∴,

又∵BC=EF,

∴ΔBCG≌ΔEFH,

∴BG=EH，CG=FH,

又∵AC=DF,

∴RtΔACG≌RtΔDFH,

∴AG=DH,

又∵BG=EH,

∴AB=DE.