【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的三个顶点A,B,D在坐标轴上,且已知点A(,),点B(,),现有抛物线m经过点B,C和OD的中点.
(1)求抛物线m的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)抛物线m与x轴的另一交点为F,M是线段AC上一动点,求的最小值.
【答案】(1);(2)存在满足条件的点,使得,理由见解析;(3)
【解析】
(1)先求出点C和点D的坐标,再求出点E的坐标,设出函数m的解析式,把B、E、C三点坐标代入解析式进行求解即可;
(2)点是抛物线和直线的交点,求出AC的解析式,联立方程组,解出方程组进行取舍即可得点P坐标;
(3)过作轴于,过作于,证明△AOG∽△CNM,可得,从而可得结论.
(1)∵,
∴,
∴,即菱形的长为5,
∴,
∴,
∴OD的中点坐标为:
设抛物线的解析式为:,则
,解得
∴抛物线的解析式为.
(2)存在满足条件的点,使得.理由如下:
①当点P在BC下方时,∵,,
∴点在菱形的对角线上,
∴点是抛物线和直线的交点,
设直线的解析式为,
∵,,,,
∴,解得,
∴直线的解析式为,
由解得或(舍去),
∴,.
(3)过作轴于,过作于,
∵轴,∴,
又∵,
∴△AOG∽△CNM,
∴,
∴,
∵点到最小距离为,
∴的最小值为的长度4,
∴的最小值为.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正六边形的对称中心在反比例函数的图象上,边在轴上,点在轴上,已知.若该反比例函数图象与交于点,则点的横坐标是_________.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,∠BAD=90°,延长AD,BC交于点F.过点D作⊙O的切线,交BF于点E.
(1)求证:DE=EF;
(2)若,求的长.
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【题目】某超市以20元/kg的价格购进一批商品进行销售,根据以往的销售经验及对市场行情的调研,该超市得到日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的关系,部分数据如下表:
销售价格x(元/kg) | 25 | 30 | 35 | 40 | … |
日销售量y(kg) | 1000 | 800 | 600 | 400 | … |
(1)根据表中的数据,用所学过的函数知识确定y与x之间的函数关系式;
(2)超市应如何确定销售价格,才能使日销售利润W(元)最大?W最大值为多少?
(3)供货商为了促销,决定给予超市a元/kg的补贴,但希望超市在30≤x≤35时,最大利润不超过10240元,求a的最大值.
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【题目】(1)问题发现:如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,点D、F分别在边AB、AC上,请直接写出线段BD、CF的数量和位置关系;
(2)拓展探究:如图2,当正方形ADEF绕点A逆时针旋转锐角θ时,上述结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点D在AB的延长线上,且∠BCD∠A.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AC2,ABCD,求⊙O半径.
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【题目】随着新冠病毒在全世界蔓延,口罩成为紧缺物资,甲、乙两家工厂积极响应政府号召,准备跨界投资生产口罩.根据市场调查,甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩,但由于转型条件不同,其生产的成本不一样,甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元,乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元.
(1)按照计划,甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩,且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的,求甲工厂最多可生产多少万片的口罩?
(2)实际生产时,甲工厂完全按计划执行,但乙工厂的生产情况发生了一些变化.乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩,每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元,最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元,求m的值.
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【题目】关于的一次函数和反比例函数的图像都经过点.
求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;
(2)若一次函数和反比例函数图像的另一个交点的坐标为,请结合图像直接写出的取值范围.
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【题目】星期天,小强骑自行车到效外与同学一起游玩.从家出发2小时到达目的地,游玩3小时后按原路以原速返回,小强离家4小时40分钟后,妈妈驾车沿相同路线迎接小强,如图是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图象.已知小强骑车的速度为15千米/时,妈妈驾车的速度为60千米/时.
(1)小强家与游玩地的距离是多少?
(2)妈妈出发多长时间与小强相遇?
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