Question

9．如图所示，三角形AEF，三角形BDF，三角形BCD都是正三角形，其中AE：BD=1：3，三角形AEF的面积是1，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 设三角形AEF的边长为1份，根据其中两个等边三角形的边长的比确定其他各边的份数，从而表示出面积，然后利用四边形的蝴蝶定理确定各个三角形的面积，从而确定梯形ABCF的面积，进而可以确定阴影部分的面积．

解答 解：（1）设△AEF的边长为1份，
∵AE：BD=1：3，
∴△BDF和△BCD的边长都是3份．
（2）∵BF=3EF，∴△ABF的面积是△AEF的3倍，△ABF的面积等于1×3=3．
∵DF=3AF，∴△BDF的面积是△ABF的3倍，△BDF的面积等于3×3=9，
∴△BCD的面积也等于9．
（3）连接FC，整个图形关于FC对称，FC是对称轴．FC的左右两部分是相等的．
在梯形ABCF中，△ABF的面积是3，△BCF的面积为（9+9）÷2=9．
梯形ABCF的面积是3+9=12，
而这个梯形的上底是1份，下底是3份．
根据四边形的蝴蝶定理：
△AIF：△BCI：△ABI：△FIC=1²：3²：3：3=1：9：3：3，
∵梯形ABCF的面积是12，梯形ABCF又被分成了1+9+3+3=16份，而阴影部分只占其中的1+9=10份．
∴梯形ABCF中的阴影部分的面积是12×$\frac{1+9}{1+9+3+3}$=$\frac{15}{2}$，
∴整个图形中的阴影部分的面积是$\frac{15}{2}$×2=15．

点评 本题考查了面积及面积变换的问题，解题的关键是了解四边形蝴蝶定理的相关内容：相似图形，面积比等于对应边长比的平方，难度较大．