Question

【题目】如图，在正方形 ABCD 中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：

①∠BAE＝30°；

②射线FE是∠AFC的角平分线；

③CF＝CD；

④AF＝AB＋CF．

其中正确结论的个数为（ ）

A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据点E为BC中点和正方形的性质，得出∠BAE的正切值，从而判断①，再证明△ABE∽△ECF，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，可判断②③，过点E作AF的垂线于点G，再证明△ABE≌△AGE，△ECF≌△EGF，即可证明④.

解：∵E是BC的中点，

∴tan∠BAE=，

∴∠BAE30°，故①错误；

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，

在△BAE和△CEF中，

，
∴△BAE∽△CEF，

∴，

∴BE=CE=2CF，

∵BE=CF=BC=CD，

即2CF=CD，

∴CF=CD，

故③错误；

设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，

∴AE=a，EF=a，AF=5a，

∴，，

∴，

又∵∠B=∠AEF，

∴△ABE∽△AEF，

∴∠AEB=∠AFE，∠BAE=∠EAG，

又∵∠AEB=∠EFC，

∴∠AFE=∠EFC，

∴射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；

过点E作AF的垂线于点G，

在△ABE和△AGE中，

，

∴△ABE≌△AGE（AAS），

∴AG=AB，GE=BE=CE，

在Rt△EFG和Rt△EFC中，

，

Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），

∴GF=CF，

∴AB+CF=AG+GF=AF，故④正确.

故选B.