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【题目】一副三角板如图1摆放,∠C=∠DFE=90,∠B=30,∠E=45,FBC,ADF,AF平分∠CAB,现将三角板DFE绕点F顺时针旋转(当点D落在射线FB上时停止旋转).

(1)当∠AFD=_ __,DF∥AC;当∠AFD=__ _时,DF⊥AB;

(2)在旋转过程中,DFAB的交点记为P,如图2,若AFP有两个内角相等,求∠APD的度数;

(3)当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时,如图3,若∠AFM=2∠BMN,比较∠FMN与∠FNM的大小,并说明理由。

【答案】(1)30;60(2) 60105150(3)∠FMN=∠FNM

【解析】分析:1)当∠AFD=30°ACDF依据角平分线的定义可先求得∠CAF=FAB=30°,由内错角相等两直线平行可证明ACDF,;当∠AFD=60°DFAB由三角形的内角和定理证明即可

2)分为∠FAP=AFPAFP=APFAPF=FAP三种情况求解即可

3)先依据三角形外角的性质证明∠FNM=30°+∠BMN接下来再依据三角形外角的性质以及∠AFM和∠BMN的关系可证明∠FMN=30°+∠BMN从而可得到∠FNM与∠FMN的关系.

详解:(1)如图1所示

当∠AFD=30ACDF

理由∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB∴∠CAF=30°.

∵∠AFD=30°,∴∠CAF=AFDACDF

如图2所示当∠AFD=60°DFAB

∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB∴∠AFG=30°.

∵∠AFD=60°,∴∠FGB=90°,DFAB

故答案为:3060

2∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB∴∠FAP=30°.

当如图3所示

当∠FAP=AFP=30°APD=FAP+∠AFP=30°+30°=60°;

如图4所示

当∠AFP=APF时.

∵∠FAP=30°,AFP=APF∴∠AFP=APF=×180°﹣30°)=×150°=75°,∴∠APD=FAP+∠AFP=30°+75°=105°;

如图5所示

如图5所示当∠APF=FAP=30°时.

APD=180°﹣30°=150°.

综上所述APD的度数为60°105°150°.

3FMN=FNM

理由如图6所示

∵∠FNM是△BMN的一个外角∴∠FNM=B+∠BMN

∵∠B=30°,∴∠FNM=B+∠BMN=30°+∠BMN

∵∠BMF是△AFM的一个外角∴∠MBF=MAF+∠AFM即∠BMN+∠FMN=MAF+∠AFM

又∵∠MAF=30°,AFM=2BMN∴∠BMN+∠FMN=30°+2BMN∴∠FMN=30°+∠BMN∴∠FNM=FMN

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解:∵

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