【题目】一副三角板如图1摆放,∠C=∠DFE=90,∠B=30,∠E=45,点F在BC上,点A在DF上,且AF平分∠CAB,现将三角板DFE绕点F顺时针旋转(当点D落在射线FB上时停止旋转).
(1)当∠AFD=_ __时,DF∥AC;当∠AFD=__ _时,DF⊥AB;
(2)在旋转过程中,DF与AB的交点记为P,如图2,若AFP有两个内角相等,求∠APD的度数;
(3)当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时,如图3,若∠AFM=2∠BMN,比较∠FMN与∠FNM的大小,并说明理由。
【答案】(1)30;60(2) 60或105或150(3)∠FMN=∠FNM
【解析】分析:(1)当∠AFD=30°时,AC∥DF,依据角平分线的定义可先求得∠CAF=∠FAB=30°,由内错角相等,两直线平行,可证明AC∥DF,;当∠AFD=60°时,DF⊥AB,由三角形的内角和定理证明即可;
(2)分为∠FAP=∠AFP,∠AFP=∠APF,∠APF=∠FAP三种情况求解即可;
(3)先依据三角形外角的性质证明∠FNM=30°+∠BMN,接下来再依据三角形外角的性质以及∠AFM和∠BMN的关系可证明∠FMN=30°+∠BMN,从而可得到∠FNM与∠FMN的关系.
详解:(1)如图1所示:
当∠AFD=30时,AC∥DF.
理由:∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,∴∠CAF=30°.
∵∠AFD=30°,∴∠CAF=∠AFD,∴AC∥DF.
如图2所示:当∠AFD=60°时,DF⊥AB.
∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,∴∠AFG=30°.
∵∠AFD=60°,∴∠FGB=90°,∴DF⊥AB.
故答案为:30;60.
(2)∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,∴∠FAP=30°.
当如图3所示:
当∠FAP=∠AFP=30°时,∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°;
如图4所示:
当∠AFP=∠APF时.
∵∠FAP=30°,∠AFP=∠APF,∴∠AFP=∠APF=×(180°﹣30°)=×150°=75°,∴∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+75°=105°;
如图5所示:
如图5所示:当∠APF=∠FAP=30°时.
∠APD=180°﹣30°=150°.
综上所述:∠APD的度数为60°或105°或150°.
(3)∠FMN=∠FNM.
理由:如图6所示:
∵∠FNM是△BMN的一个外角,∴∠FNM=∠B+∠BMN.
∵∠B=30°,∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN.
∵∠BMF是△AFM的一个外角,∴∠MBF=∠MAF+∠AFM,即∠BMN+∠FMN=∠MAF+∠AFM.
又∵∠MAF=30°,∠AFM=2∠BMN,∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN,∴∠FMN=30°+∠BMN,∴∠FNM=∠FMN.
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【题目】以下调查中,适宜抽样调查的是( )
A.了解某班学生的身高情况
B.调查某批次汽车的抗撞击能力
C.了解全班同学每周体育锻炼的时间
D.对某校初三年级(2)班学生体能测试达标情况的调查
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【题目】下列调查:
①了解某批种子的发芽率 ②了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率
③了解某地区地下水水质 ④了解七年级(1)班学生参加“开放性科学实践活动”完成次数
适合采取全面调查的是( )
A.①③B.②④C.①②D.③④
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【题目】在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC平移,使点A变换为点D,点E、F分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的△DEF;
(2)若连接AD、CF,则这两条线段之间的关系是________________;
(3)在图中找出所有满足S△ABC=S△QBC的格点Q (异于点A),并用Q1、Q2…表示.
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【题目】小明在学了三角形的角平分线后,遇到下列4个问题,请你帮他解决.如图,在△ABC中,∠BAC= 50°,点I是∠ABC、∠ACB平分线的交点.
问题(1):填空:∠BIC=_________°.
问题(2):若点D是两条外角平分线的交点,则∠BDC=_________°.
问题(3):若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点,则∠BEC与∠BAC的数量关系是________;
问题(4):在问题(3)的条件下,当∠ACB等于__________°时,CE∥AB.
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【题目】已知关于x,y的方程组的解满足x<0,y>0.
(1)x=________, y=________(用含a的代数式表示);
(2)求a的取值范围;
(3)若2x8y=2m,用含有a的代数式表示m,并求m的取值范围.
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【题目】先阅读下面的内容,再解决问题.
例题:若, 求m和n的值
解:∵
∴
∴
∴,
∴,
问题:(1)若,求的值.
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足,且c是△ABC中最长的边,求c的取值范围.
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