Question

已知方程（m+15）x²-（3m+5）x+12=0的两根分别是一个直角三角形两个锐角的正弦值，求m的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,互余两角三角函数的关系

专题：

分析：设一个直角三角形两个锐角为A、B（∠A+∠B=90°），根据根与系数的关系得sinA+sinB=

3m+5

m+15

，sinA•sinB=

12

m+15

，利用互余两角三角函数的关系得到sin²A+sin²B=1，变形得到（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，所以（

3m+5

m+15

）²-2×

12

m+15

=1，解得m₁=10，m₂=-7，然后根据sinA与sinB都是正数且小于1确定m的取值．

解答：解：设一个直角三角形两个锐角为A、B（∠A+∠B=90°），
根据题意得sinA+sinB=

3m+5

m+15

，sinA•sinB=

12

m+15

，
∵sin²A+sin²B=1，
∴（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，
∴（

3m+5

m+15

）²-2×

12

m+15

=1，
解得m₁=10，m₂=-7，
∵sinA+sinB=

3m+5

m+15

＞0，sinA•sinB=

12

m+15

＜1，
∴m=10．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了互余两角三角函数的关系．