Question

7．如图，AC是⊙O的直径，BF是⊙O的弦，BF⊥AC于点H，在BF上截取KB=AB，AK的
延长线交⊙O于点E，过点E作PD∥AB，PD与AC、BF的延长线分别交于点D、P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AK=$\sqrt{10}$，tan∠BAH=$\frac{4}{3}$，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据等腰三角形的性质得出∠OEA=∠OAE，∠AKB=∠BAE，然后根据平行线的性质∠PEA=∠AKB，进而即可证得∠OEA+∠PEA=90°，即OE⊥PD，即可证得结论；
（2）根据已知设AH=3n，则BH=4n，AB=5n，KH=n，然后根据勾股定理列出关于n的方程，解得n=1，得出AH=3，BH=4，设⊙O半径为R，则在Rt△OBH中，OH=R-3，根据勾股定理得出关于R的方程，解方程即可求得．

解答 解：（1）连接OE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵PD∥AB，
∴∠PEA=∠BAE，
∵KB=AB，
∴∠AKB=∠BAE，
∴∠PEA=∠AKB，
∵BF⊥AC，H为垂足，
∴∠OAE+∠AKB=90°
∴∠OEA+∠PEA=90°，
即OE⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；

（2）解：∵tan∠BAH=$\frac{4}{3}$，BF⊥AC，H为垂足，且KB=AB，
在Rt△ABH和Rt△AKH中，设AH=3n，则BH=4n，AB=5n，KH=n，
∴由AH²+KH²=AK²，即（3n）²+n²=（$\sqrt{10}$）²，解得n=1，
∴AH=3，BH=4，
设⊙O半径为R，则在Rt△OBH中，OH=R-3，
由OH²+BH²=OB²，即（R-3）²+4²=R²，解得：R=$\frac{25}{6}$，
∴⊙O半径的长为$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的判定，平行线性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．