Question

【题目】如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连结AD并延长，与过C点的直线交于P，OD与BC相交于点E．

（1）求证：OE＝AC；

（2）连接CD，若∠PCD＝∠PAC，试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）PC为⊙O的切线，理由见解析；（3）PC=15．

【解析】

（1）利用垂径定理证明 再证明，利用三角形中位线定理可得结论；（2）连接CO，DC，证明∠OCP＝∠OBC+∠BAC，即可得到结论；

（3）先分别求解 再证明△PCD∽△PAC，从而可得答案．

（1）证明：∵AB为直径

∴∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，

又∵D为中点，

∴OD⊥BC，OD∥AC，

又∵O为AB中点，

∴OE＝AC；

（2）解：PC为⊙O的切线，

理由：连接CO，DC，

∵CO＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵∠BCD＝∠BAD，∠PCD＝∠PAC，

∴∠OCB+∠BCD+∠PCD

＝∠OBC+∠BAD+∠PAC，

∴∠OCP＝∠OBC+∠BAC，

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠OBC+∠BAC＝90°，

∴∠OCP＝90°，

即PC为⊙O的切线；

（3）解：

由（1）可知，

OE＝3，BE＝4，DE＝2，

在Rt△BED和Rt△ABD中，

由勾股定理得：BD＝2，

AD＝4，

∵点D是劣弧的中点，

∴CD＝2，

∵∠P是△PCD和△PAC的公共角，

由∠PCD＝∠PAC，

则△PCD∽△PAC，

∴，

∴PC2＝PDAP，

即，

∴PC＝，

∴，

解得：PD＝，

∴PC＝