Question

【题目】在四边形中，，点是的中点

情景引入：

（1）如图1，若是的平分线，试判断，，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，证明得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系为，试证明该结论；

问题探究：

（2）如图2，点是的延长线上一点，连，若恰好是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）AB=AF+CF，理由见解析.

【解析】

（1）由“AAS”可证△CEF≌△BEA，可得AB=CF，即可得结论；
（2）延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”可证△AEB≌△GEC，可得AB=CG，即可得结论.

解：（1）AD=AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD的平分线
∴∠DAE=∠BAE
∵AB∥CD
∴∠F=∠BAE
∴∠DAF=∠F
∴AD=DF，
∵点E是BC的中点
∴CE=BE，且∠F=∠BAE，∠AEB=∠CEF
∴△CEF≌△BEA（AAS）
∴AB=CF
∴AD=CD+CF=CD+AB
（2）AB=AF+CF
理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G

∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G．且BE=CE，∠AEB=∠GEC
∴△AEB≌△GEC（AAS）
∴AB=GC
∵AE是∠BAF的平分线
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∵CG=CF+FG，
∴AB=AF+CF