Question

【题目】如图，在四边形中，对角线、交于点，，，平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 ；（2）4

【解析】

（1）通过角平分线的定义和平行线的性质得出，从而有，则，通过一组对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，又因为，所以平行四边形是菱形；

（2）通过菱形的性质可得，，，然后在中利用勾股定理求出OA的长度，然后根据已知得出，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．

解：（1）∵，

∴．

∵平分，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴．

又∵，

∴四边形是平行四边形．

又∵，

∴□ABCD是菱形．

（2）∵四边形是菱形，对角线、交于点．

∴，，．

∵，

∴．

在中，，，

∴．

∵，

∴．

在中，，为斜边中点，

∴．